(単振り子運動の微積物理) 接線上での運動方程式を導出する為にオイラー・ラグランジュ方程式から攻める。 ある関数y(x)に微小なズレの関数を定義した式を考える。 解析力学で用いる積分汎函数を使う。 これが極値を持つ条件は微小量微分したものが0になる事 ↓ 部分積分をして方程式を導出! pic.twitter.com/BxJwS76BKo
2023-01-22 13:38:34次に質点の位置や状況の図のように定義する。すると位置の座標が分かるよね? ここで速度(円の接線方向)について定義する。極座標みたいなもん。 運動エネルギーを求めれる。 次に位置エネルギーについて θ=0の所を基準点にすると、 mg(l-x)となる ここで先ほど導出したラグランジュ方程式を使う
2023-01-22 13:38:57L=運動エネルギー−位置エネルギー そして代入し、計算するとここで接線上の運動方程式が導出できるの! ↑ あら凄い。 ここからは近次の話(阪大出た) 導出で得たものを使うよ。 両者mlで割る。 sinθをテイラー展開し、近似はθと分かるので近似した式を下に書く。 これは2階同次微分方程式だね! pic.twitter.com/mwEFZdczaW
2023-01-22 13:39:39ω=√g/lとおく。 d^2θ/dt^2+ωθ=0の微分方程式を解くよ! θを下のように置き、それぞれを代入する。特性方程式よりλ^2+ω^2=0 それぞれの解をλ1、λ2とおくよ! そしてオイラー公式を代入 (e^±iθ=cosθ±isinθ) 整理し加法定理を使い解を得る
2023-01-22 13:40:04続き) αを初期位相とし、θ(t)を振幅を使い次の式を得る。 これは単振動の式になる! つまり微小変化させると質点の位置で単振動してることの証明になる! 実はここから楕円積分の形にする事も出来るんだ!あまり関係ないからここでは言わない。 確か阪大かどこかがだした(qed) pic.twitter.com/zGP7ukes9n
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